Nincs elégtétel, ha túl könnyű a tétel

A címadó mondat Erdős Páltól, a híres magyar matematikustól származik, aki nem szeretett túl könnyű problémákkal foglalkozni. Egy influenzából való lábadozás során olvastam egy róla szóló könyvet, Paul Hoffman Az ember, aki csak a matematikát szerette című kötetét.
Erdős Pálról először 1979-ben hallottam, amikor A természet világa című folyóiratban megjelent egy cikk az utazó matematikusról. (Apám a közéleti, művészeti és irodalmi folyóiratok mellett szükségesnek tartotta, hogy természettudományos periodikákat is olvasson, de azért A természet világát leginkább én olvastam.) A cikkből megtudtam, hogy nincs állandó lakása, járja a világot, előadásokat tart a világ különféle egyetemein. Beszélt a cikk Erdős pénzdíjas feladatairól, ezek közül egyet le is közölt, és ekkor végigfutott a hideg a hátamon. A feladat a következő volt:
Egy tolvaj elköt egy csónakot és beevez egy szabályos kör alakú tó közepére. A révész észreveszi és a parton futkos. Bár a tolvaj gyorsan fut, evezni sokkal lassabban tud, mint amilyen gyorsan a révész szalad. Ha előbb sikerülne partot érnie, mint a révész, elmenekülhetne. A kérdés egyszerű: legfeljebb mennyivel futhat gyorsabban a révész, mint amelyen gyorsan a tolvaj evez, hogy a tolvaj a révész előtt érhessen partot és így egérutat nyerjen?
A lap a megoldást nem, csak az eredményt közölte: 4.6033, és ez az érték független a tó méretétől.
A hideg pedig azért futott végig a hátamon, mert három évvel korábban egy barátommal Erdélyben, a Szent Anna-tónál túráztunk, és ugyanezt a példát én fogalmaztam meg, csak nem tolvajjal és révésszel, hanem fürdőzővel és medvével. Barátom országos matematikaversenyt nyert és diákolimpikon is volt, ezért nem lepett meg különösebben, hogy pár hét alatt megoldotta a példát és ő is a fenti eredményre jutott.

A Szent Anna-tó medvével

Később hallottam Erdős 1996-os haláláról, majd 2000-ben a Time-ban az évszázad száz legjelentősebb tudósa között az ő neve is ott szerepelt (a másik magyar Neumann János volt).
A matematikáról és a matematikusokról korábban is olvastam könyveket, így Simon Singh-től A nagy Fermat-sejtést, James Gleick-től a Káoszt. Mindkettő hasonló volt az Erdős Pálról szóló könyvhöz abban, hogy a matematikusok életét regényesen és szórakoztatóan írja le, a matematikai problémákat pedig olyan mélységig érinti, hogy azokat egy középiskolát végzett és a matematika iránt érdeklődő laikus is megértheti.
Erdős azt vallotta, hogy a matematika tőlünk függetlenül létezik, Isten (akit Erdős csak SF-nek, Supreme Fascist-nak, vagyis a Legnagyobb Fasisztának nevezett) egy Könyvben őrzi a titkát és csak apránként csepegteti az emberiségnek. Más matematikusok szerint csak az egész számok örökök és változtathatatlanok, minden egyéb csak emberi konstrukció. Ezért fordult Erdős figyelme is főként a számelmélet felé, a nagyobb technikai apparátust felvonultató matematikai ágazatok hidegen hagyták.
A regény 11 fejezetből áll, ahol a fejezetszámozás: 0, 1, 2, e, 3, π, 4, 5, 6, 7, és ∞. Erdős élettörténete tele van tűzdelve más matematikusok élettörténetével, legendás matematikai tételekkel (négyszín-sejtés, nagy Fermat-sejtés stb.). Külön fejezet foglalkozik Ronald Graham-mel, aki nemcsak Erdős jó barátja és alkotótársa, de különösen Erdős édesanyjának halála után gyámolítója is volt. Erdős élete végéig olyan volt, mint egy nagy gyerek: a matematikában zseniális, a gyakorlati életben gyámoltalan. Graham ennek pont az ellenkezője: erős fizikuma akrobatikus ügyességgel párosul, trambulinon szaltózik, egyszerre öt labdával zsonglőrködik (van egy magyar matematikus is, a Japánban élő Frankl Péter, aki egyben zsonglőr is, amikor Vitray még a '80-as években riportot készített róla és megkérdezte, mi élete vágya, Frankl azt válaszolta, hogy hat labdával zsonglőrködni).
A könyvben számos már elhunyt magyar matematikus mellett sok ma is aktív magyar matematikus is megemlítésre kerül, így Simonovits Miklós, Sós Vera (Turán Pál özvegye), Pósa Lajos, Pelikán József (nem a gátőr), Bollobás Béla, Pach János, Lovász László és Füredi Zoltán. Utóbbi kettő azért is érdekes, mert Lovász László a Magyar Tudományos Akadémia jelenlegi elnöke, és annak idején ő volt az Akadémia legfiatalabb rendes tagja, Füredi Zoltán pedig iskolatársam a gimnáziumban, két évvel járt fölöttem, ugyanaz volt a matematikatanára, mint nekem, a húga az osztálytársam volt.
Szó kerül a könyvben ugyanarról a Monty Hall-paradoxonról, amiről egy korábbi posztomban már írtam, a tévévetélkedő a három ajtóval. Erdős Pál állítólag első hallásra nem akarta elfogadni azt a tényt, hogy ha cserélünk, megduplázzuk az esélyünket. Itt is egy érdekes egybeesés azzal az osztálytársammal, aki a tavas feladványt megoldotta. Neki ugyanis én beszéltem először a Monty Hall-paradoxonról, és ő sem fogadta el elsőre a megoldást.
Sok számelmélettel foglalkozó matematikus azzal áltatta magát, hogy valószínűleg ez a leghaszontalanabb területe a matematikának, kizárt, hogy gyakorlati haszna lenne. Pedig a mai kriptográfia, a korszerű titkosítási módszerek elképzelhetetlenek lennének a prímszámok nélkül. Szintén A természet világában még a '70-es évek végén olvastam először a nyilvános kulcsos titkosításról, mely nélkül nem létezne a jelszavaink biztonságos tárolása, a digitális aláírás, a nyilvános hálózaton kialakított "lehallgathatatlan" virtuális magánhálózat vagy a mostanában olyan divatos kriptovaluták (pl. Bitcoin) blokkláncai, melyek hamisíthatatlanná teszik a fizetési tranzakciókat és előállításuk (bányászatuk) igazi közösségi tevékenységgé teszi a kriptovaluta emisszióját is.
Posztom végén hadd bűvészkedjek én is a prímszámokkal. Egyrészt ezen a blogger-portálon ez a 701. posztom, 701 prímszám. Másrészt korábban leírtam, hogy 1997-ben és 1999-ben 41 illetve 43 éves voltam, azaz duplán ikerprím, hiszen az 1997 és 1999, valamint a 41 és a 43 is ikerprímek. (ikerprímeknek azokat a prímszámokat nevezzük, melyek különbsége 2). Felfedeztem, hogy ha megérem a 2027-et és 2029-et, vagyis a 71. ill 73. életévemet, akkor ismét duplán leszek ikerprím. Utána néztem, hogy ez a duplán dupla ikerprímség csak az én korosztályomnak adatott-e meg, vagy más évben születetteknél is előjöhet.
A 20. és 21. században összesen öt ikerprím évszám van: 1931-1933, 1949-1951 (ezek közé nem is esik másik magányos prím), továbbá 1997-1999, 2027-2029, 2081-2083. Egy 100 éves ember életében a következő életkorokban ikerprím korú: 3-5, 5-7, 11-13, 17-19, 29-31, 41-43, 59-61, 71-73. A második számpárokat az elsőre illesztve nyolc korosztályt sikerült találnom a vizsgált időszakban, akik megfelelnek a duplán dupla ikerprímség kritériumának. Ők az alábbi években születtek: 1890, 1920, 1926, 1938, 1956, 1968, 1986, 2010. Az ezekben az években születettek életében kétszer jön el az a periódus, amikor mind az életkoruk, mind a pillanatnyi dátum ikerprím. Ráadásul csak az 1926-ban, 1956-ban és a 2010-ben születetteknek kell megérniük a 73 éves kort, az 1890-ben, 1938-ban és 1968-ban születetteknek elegendő 61 évig élni, az 1986-ban születettek meghalhatnak 43 évesen, az 1920-ban születettek pedig 31 évesen.
A figyelmes szemlélő észrevehette, hogy a 3-nál nagyobb ikerprímek mindig felírhatók 6n-1, 6n+1 alakban, ahol n pozitív egész (egyszerűbben: az ikerprímek számtani közepe mindig 6-tal osztható). Ez nem véletlen, a 3-nál nagyobb prímszámok ugyanis mindig 6n-1 vagy 6n+1 alakúak. Ugyanis bármely 4-nél nagyobb szám felírható ebben az alakban: 6n+q, ahol q=-1,0, 1, 2, 3 vagy 4. Ha q=0, 2, vagy 4, akkor a szám páros, tehát nem prím. Ha q=3, akkor a szám osztható 3-mal, tehát szintén nem prím. Marad a -1 és az 1. Mivel az ikerprímek különbsége 2, az ikerprímség szükséges (de persze nem elégséges) feltétele, hogy 6n-1, 6n+1 alakban felírható legyen.
Na, legyen elég a matematikából mára!